Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Над событиями можно производить различные действия, получая при этом другие события. Дадим определения этих действий.

Определение 2.13.

Если при всяком испытании, при ко­тором происходит событие А , происходит и событие В , то событие А называется частным случаем события В.

Говорят также, что А влечет за собой В, и пишут: (А вложено в В ) или (рис. 2.1).

Например, пусть событие А состоит в появлении двух очков при бросании игральной кости, а событие В состоит в появлении четного числа очков при бросании игральной кости В = {2; 4; 6}. Тогда событии А есть частный случай события В , так как два - четное число. Можем записать .

Рис . 2.1 . Событие А - частный случай события В

Определение 2.14.

Если А влечет за собой В , а В влечет за собой А , то эти события равносильны , так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Из того, что и (следует) А = В .

Например, А - событие, состоящее в том, что на иг­ральной кости выпала четная цифра меньше трех. Это со­бытие равносильно событию В , состоящему в том, что на игральной кости выпала цифра 2.

Определение 2.15.

Событие, состоящее в совместном на­ступлении обоих событий и А , и В , называется пересече­нием этих событий А∩В , или произведением этих собы­тий АВ (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Пересечение событий

Например, пусть событие А состоит в выпадении четно­го числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков. А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению бла­гоприятствуют элементарные события, состоящие в выпа­дении 4-х, 5-ти и 6-ти очков. В = {4; 5; 6}. Тогда пересечени­ем или произведением событий А и В будет событие, состо­ящее в выпадении четного числа очков, большего трёх (выполняется и событие А, и событие В):

А∩В =АВ= {4; 6}.

Пересечением событий, одно из которых А - выпадение дамы из колоды карт, а другое В - выпадение трефы, будет трефовая дама.

Примечание. Если два события А и В несовместны, то их совместное наступление невозможно АВ = 0.

Определение 2.16.

Событие, состоящее в наступлении или события А , или события В (хотя бы одного из событий, по крайней мере одного из этих событий), называется их объединением А и В , или суммой событий А и В и обо­значается через А+В (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Объединение событий

Например, событие А состоит в выпадении четного чис­ла очков при бросании игральной кости, тогда его наступ­лению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков, или А - {2; 4; 6}. Собы­тие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благо­приятствуют элементарные события, состоящие в выпаде­нии 4-х, 5-ти и 6-ти очков, или В = (4; 5; 6}. Тогда объедине­нием, или суммой событий А и В будет событие, состоящее в выпадении хотя бы одного из них - либо четного числа очков, либо числа очков большего трёх (выполняется или событие А, или событие В):

А ∩ В =А +В= {2; 4; 5; 6}.

Определение 2.17.

Событие, состоящее в том, что собы­тие А не происходит, называется противоположным со­бытию А и обозначается через Ā (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Противоположные события

Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его на­ступлению благоприятствуют элементарные события, состо­ящие в выпадении 2-х,-4-х и 6-ти очков, или А = {2; 4; 6}. Тогда событие Ā состоит в выпадении нечетного числа оч­ков, и его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 1-го, 3-х и 5-ти очков. Ā ={1;3;5}.

Определение 2.18.

Событие (А и В) , состоящее в том, что А происходит, а не происходит, называется разно­стью событий А и В и обозначается через А-В . Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из опре­деления следует, что А - В - (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Разность событий А и В

Например, пусть событие А состоит в выпадении чет­ного числа очков при бросании игральной кости, тогда А = {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех. В = {4; 5; 6}.

Тогда - событие, состоящее в выпадении числа очков не больше трех, и его наступлению благоприятствуют эле­ментарные события, состоящие в выпадении 1-го, 2-х и 3-х очков. = {1; 2; 3}.

Разностью событий А и В будет событие, состоящее в том, что выполняется событие А и не выполняется событие В. Его наступлению благоприятствует элементарное событие, состоящее в выпадении 2-х очков:

А-В= А∩ = {2}.

Определения суммы и произведения событий распростра­няются и на большее число событий:

А + В + ... + N = (А или В, или... или N ) (2.1)

есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В, ... N ;

АВ... N = (А и В и... и N ), (2.2)

есть событие, состоящее в совместном наступлении всех со­бытий А, В, ... N.

Аналогично определяются сумма и произведение беско­нечного числа событий А 1 , А 2 , ... А п, ...

Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохра­няются и для действий над событиями. Например, имеет место перёместительный закон (коммуникативность):

А + В = В + А, АВ=ВА, (2.3)

выполняется распределительный закон (дистрибутивность):

(А +В ) С = АС + ВС, (2.4)

так как левая и правая части представляют событие, состоя­щее в том, что происходят событие С и по крайней мере одно из событий А и В. Справедлив также сочетательный закон (ассоциативность):

А+(В + С) = (А+В)+ С = А+В + С;

А(ВС) = (АВ)С = АВС. (2.5)

Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми. Например, для любых А, В, С:

АА=А (2.6)

А+А = А (2.7)

А+АВ = А (2.8)

АВ + С = (А+С)(В+С) (2.9)

Противоположные события связаны:

· законом двойного отрицания:

= А; (2.10)

· законом исключенного третьего

А + = Ω. (сумма их есть достоверное событие); (2.11)

· законом противоречия:

А = Ø(произведение их невозможное событие). (2.12)

Равенства (2.6)-(2.12) доказываются для высказываний в курсе дискретной математики. Предлагаем читателю про­верить это самостоятельно, используя определения суммы и произведения событий.

Если В = А 1 + А 2 +... +А п и события А попарно несовме­стимы, т.е. каждое несовместимо с остальными: А j А k = Ø при i≠k говорят, что событие В подразделяется на част­ные случаи А 1 , А 2 , ..., А п. Например, событие В, состоящее в выпадении нечетного числа очков, подразделяется на част­ные случаи Е 1 , Е 3 , Е 5 , состоящие соответственно в выпаде­нии 1, 3 и 5 очков.

Исходя из определения действий над событиями, мы мо­жем дать более четкое определение полной группе событий.

Определение 2.19.

Если А 1 + А 2 +... +А п = Ω , т.е. если хотя бы одно из событий А 1 + А 2 +... +А п непременно дол­жно осуществиться и если при этом А j попарно несовме­стимы (т.е. достоверное событие Ω подразделяется на частные случаи А 1 + А 2 +... +А п ), то говорят, что события А 1 + А 2 +... +А п образуют полную группу событий. Таким образом, если А 1 + А 2 +... +А п - полная группа событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий А 1 + А 2 +... +А п .

Например, при бросании игральной кости полную груп­пу событий составляют также события Е 1 , Е 2 , Е 3 , Е 4 , Е 5 и Е 6 , состоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3,4, 5 и 6 очков.

Введем понятие случайного события. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только случайные события, то, начиная с этого момента, будем называть, как правило, просто событиями.

Любой набор элементарных исходов , или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов , называют событием .

Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию , или образующими это событие .

События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами, например: А , В 1 ,С 3 и т.д.

Говорят, что событие А произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов.

Замечание 1. Для удобства изложения материала термин «событие» как подмножество пространства элементарных событий Ω отождествляется с термином «событие произошло в результате опыта», или «событие заключается в появлении каких-то элементарных исходов».

Так в примере 2, где
, событиемА является подмножество
. Но мы будем также говорить, что событиеА – это появление любого из элементарных исходов

Пример 1.5. В примере 2 было показано, что при однократном бросании игральной кости

,

где - элементарный исход, заключающийся в выпаденииi очков. Рассмотрим следующие события: А – выпадение четного числа очков; В - выпадение нечетного числа очков; С – выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, что

,
,

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным событием.

Достоверное событие обозначают буквой Ω .

Событие , противоположное достоверному событию Ω, называетсяневозможным . Очевидно, невозможное событие не может появиться в результате опыта. Например, выпадение более шести очков при бросании игральной кости. Невозможное событие будем обозначать черезØ.

Невозможное событие не содержит в своем составе ни одного элементарного события. Ему соответствует так называемое «пустое множество», не содержащее ни одной точки.

Геометрически случайные события изображаются множествами точек области Ω, т.е. областями, лежащими внутри Ω (рис. 1.1). Достоверному событию соответствует вся область Ω.

В теории вероятностей над событиями производят различные операции, совокупность которых образует так называемую алгебру событий , тесно связанную с алгеброй логики, широко используемой в современных вычислительных машинах.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Для рассмотрения задач алгебры событий введем основные определения.

Два события называются равносильными (эквивалентными) , если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Эквивалентность событий обозначается знаком равенства:

А =В .

Событие В называется следствием события А :

А В ,

Если из появления А следует появление В . Очевидно, если А В и В А , то А =В , если А В и В С , то А С (рис. 1.2).

Суммой или объединением двух событий А и В называется такое событие С , которое состоит или в осуществлении события А , или события В , или событий А и В вместе. Условно записывают так:

С =А +В или С =А
В .

Суммой любого числа событий А 1 ,А 2 , … , А n называется событие С , которое состоит в осуществлении хотя бы одного из этих событий и записывается в виде

или

Произведением или совмещением (пересечением) двух событий А и В называется событие С , которое состоит и в осуществлении события А , и события В . Условно записывают так:

С =АВ или С =А В .

Аналогично определяется произведение любого числа событий. Событие С , эквивалентное произведению n событий А 1 ,А 2 , … , А n записывается в виде

или
.

Сумма и произведение событий обладают следующими свойствами.

А +В =В +А .

(А +В )+С =А +(В +С )=А +В +С .

АВ =ВА .

(АВ )С =А (ВС )=АВС .

А (В +С )=АВ +АС .

Большинство из них легко проверить самостоятельно. Рекомендуем пользоваться при этом геометрической моделью.

Приведем доказательство 5-го свойства.

Событие А (В +С ) состоит из элементарных событий, которые принадлежат и А и В +С , т.е. событию А и хотя бы одному из событий В ,С . Иначе говоря, А (В +С ) – это множество элементарных событий, принадлежащих либо событию АВ , либо событию АС , т.е. событию АВ +АС . Геометрически событие А (В +С ) представляет собой общую часть областей А и В +С (рис. 1.3.а), а событие АВ +АС – объединение областей АВ и АС (рис. 1.3.б), т.е. ту же самую область А (В +С ).

Рис. 1.3.а Рис. 1.3.б

Событие С , состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В . Условно записывают так:

С =А -В .

События А и В называются совместными , если они могут появиться в одном и том же испытании. Это значит, что существуют такие элементарные события, которые входят в состав и А и В одновременно (рис. 1.4).

События А и В называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого, т.е. если АВ = Ø. Иными словами, нет ни одного элементарного события, которое входило бы в состав и А и В одновременно (рис. 1.5). В частности, противоположные события ивсегда несовместны.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

События
называютсяпопарно несовместными , если любые два из них несовместны.

События
образуютполную группу , если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие, т.е. если для любых i , k

Ø;
.

Очевидно, каждое элементарное событие должно входить в состав одного и только одного события полной группы
. Геометрически это значит, что вся область Ω области
делят наn частей, не имеющих между собой общих точек (рис. 1.6).

Противоположные события ипредставляют собой простейший случай полной группы.

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A - попадание в утку с первого выстрела, событие B - попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B - попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.